Menentukan KPK dan FPB

Menentukan KPK dan FPB

(Bilangan Bulat bagian 2)

KPK adalah singkatan dari Kelipatan Persekutuan terKecil, sedangkan FPB adalah singkatan dari Faktor Persekutuan terBesar. Untuk mencari KPK dan FPB diperlukan hal tentang bilangan prima dan faktorisasi prima,

- Bilangan prima
  bilangan asli yang hanya mempunyai dua faktor yaitu bilangan itu sendiri dan 1,
  yaitu {2,3,5,7,11,.....}.

- Faktorisasi prima
  Menguraikan bilangan menjadi perkalian faktor-faktor prima. Untuk melakukan faktorisasi
  prima ini diperlukan pohon faktor.

  contoh:

  Faktor prima dari 80 adalah....

 buat pohon faktornya:

                                                                                       
didapat 2 x 2 x 2 x 2 x 5 = 2⁴ x 5
Jadi faktor prima dari 80 adalah 2⁴ x 5

1.    KPK (Kelipatan Persekutuan terKecil)

a.       Mencari KPK dengan Kelipatan Persekutuan
Kelipatan persekutuan adalah kelipatan yang sama dari dua bilangan atau lebih .
KPK adalah nilai terkecil dari kelipatan persekutuan 2 atau lebih bilangan.
Contoh: cari KPK dari 4 dan 8

Kelipatan 4 adalah = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, ....}
Kelipatan 8 adalah = {8, 16, 24. 32. 40, 48, 56, ...}

Kelipatan persekutuannya adalah 8, 16, 24, 32, ...    ( kelipatan yang sama dari 4 dan 8)
Nilai yang terkecil adalah 8, sehingga KPKnya adalah 8  

b.      Mencari KPK dengan Faktorisasi Prima

- semua bilangan faktor dikalikan
-apabila ada yang sama ambil yang terbesar, apabila keduanya sama ambil salah satunya

 Contoh: cari KPK dari 8, 12 dan 30

buat pohon faktornya

  Faktor Prima= 2x2x2 = 2³                        2x2x3 = 2² x 3                      2 x 3 x 5

      faktor 2 yang terbesar àdalah 2³
      faktor 3 nilainya sama untuk 12 dan 30à ambil salah satunya saja yaitu 3
      faktor 5 ada 1 à ambil nilai 5

      sehingga KPKnya adalah 2³ x 3 x 5 = 120

Contoh soal cerita:

Ali Berenang 10 hari sekali, Budi berenang 15 hari sekali, sedangkan Amir berenang 20 hari sekali.
Ketiga-tiganya sama-sama berenang petamakali pada tanggal 20 februari 2012, kapan ketiga-tiganya sama-sama berenang untuk yang keduakalinya?

Jawab:

Faktorisasi prima dari 10 = 2 x 5
Faktorisasi prima dari 15 = 3 x 5
Faktorisasi prima dari 20 = 2² x 5

KPK dari 10, 15 dan 20 = 2² x 3  x 5 = 60 (kalikan semua faktor, faktor yang sama ambil yang

                                                                     terbesar)
Jadi mereka sama-sama berenang setiap 60 hari sekali.
Mereka sama-sama berenang untuk yang keduakalinya adalah 20 februari + 60 hari = 20 April

·         Ingat bulan februari untuk tahun kabisat adalah 29 hari, untuk tahun bukan kabisat = 28 hari
(2012 adalah tahun kabisat karena habis dibagi dengan 4)

2.    FPB (Faktor Persekutuan terBesar)

a.       Mencari FPB dengan Faktor Persekutuan

Faktor persekutuan adalah faktor yang sama dari dua bilangan atau lebih.
FPB adalah nilai paling besar dari faktor persekutuan dua bilangan atau lebih itu .

Contoh: cari FPB dari 4 dan 8 dan 12

Faktor dari 4 adalah = {1, 2, 4}
Faktor dari 8 adalah = {1, 2, 4, 8}
Faktor 12 adalah= {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Faktor persekutuannya adalah 1, 2, 4
Nilai yang terbesar adalah 4, sehingga FPBnya adalah 4 

b.      Mencari FPB dengan Faktorisasi Prima

-  ambil bilangan faktor yang sama dan ambil ysng terkecil dari 2 atau lebih bilangan

Contoh: cari FPB dari 4, 8 dan 12

buat pohon faktornya

             

Faktor Prima= 2x2 = 2²                        2x2x2 = 2³                       2x 2 x 3 =2² x 3

      faktor dari 4, 8 dan 12 yang sama adalah 2, dan  yang terkecil adalah 2² = 4 
      Jadi FPB dari 4, 8 dan 12 adalah 4

Contoh soal cerita:

Bu Aminah mempunyai 20 jeruk dan 30 salak, jeruk dan salak akan dimasukkan ke dalam plastik dengan jumlah yang sama.
a. Berapa plastik yang diperlukan?
b. Berapa banyak jeruk dan salak pada masing-masing plastik?

Jawab:

Faktorisasi prima dari 20 = 2² x 5
Faktorisasi prima dari 30 = 2 x 3 x 5

FPB dari 20 dan 30 = 2 x 5 = 10 ( kalikan faktor yang sama, apabila sama ambil yang terkecil)

a. Jumlah plastik yang diperlukan = 10 plastik
b. Jumlah jeruk pada setiap plastik = 20/10 = 2 jeruk
    Jujmlah salak pada setiap plastik = 30/10 = 3 salak

Latihan Soal :

A. Tentukan KPK dan FPB dari soal-soal di bawah ini:

1.  8 dan 24                                 6.   6, 14 dan 26
2.  15 dan 45                               7.  25, 35 dan 50
3.  12 dan 30                               8.  8, 12 dan 20
4.   100 dan 250                         9.  9, 15 dan 30
5.   30 dan 70                             10.  24, 30 dan 55

B. Jawablah soal-soal cerita di bawah ini:
(soal-soal cerita di bawah diambil dari Buku BSE Bersahabat dengan Matematika karangan
A Dadi Permana dan Triyati)


B1.

B2.

Kunci Jawaban:

A.

	KPK	FPB
1	24	8
2	45	15
3	60	6
4	500	50
5	210	10
6	546	2
7	350	5
8	120	4
9	90	3
10	1320	Tidak ada

B1.

1. 24 detik
2. 4 April dan 4 Mei
3. 19 Juli

B2.
1. 4 kotak (jumlah kue keju tiap kotak = 7, jumlah donat tiap kotak = 10)
2. a. 9 Anak
     b.  3 kemeja dan 5 celana pendek

3. a. 6 stoples
    b. 7, 8 dan 10

File PDFnya bisa di downlosd di sini

Bilangan Bulat - Bagian 1

BILANGAN BULAT
(Bagian 1 – Sifat-sifat Operasi Hitung Bilangan)

A. Sifat-sifat Operasi Hitung Bilangan

1. Sifat Pertukaran (Komutatif)

Berlaku untuk penjumlahan dan perkalian saja, tidak berlaku untuk pengurangan

a. Penjumlahan

a + b = b + a

contoh:

2 + 5 = 5 + 2                          
      7  = 7

b. Perkalian

a x b = b x a

contoh

3 x 9 = 9 x 3
    27 = 27

Tidak berlaku untuk pengurangan:

a – b ≠ b – a

contoh:
4 – 5 ≠   5 – 4

     -1 ≠ 1

Latihan Soal:

Isilah titik-titik di bawah ini :

1.  3 + 15    = 15 + ... = ....
2.  8 + (-2)  = .... + 8  = ....
3.  -3 + 5    = -3 + .. . = ...
4.  5 x 12   = .... x 5  = ...
5.  9 x (-3) =  -3 x ... = ....

2. Sifat Pengelompokan (Asosiatif)

Berlaku untuk penjumlahan dan perkalian saja, tidak berlaku untuk pengurangan

a. Penjumlahan

(a + b) + c  = a + ( b + c )

contoh:

(4 + 5) + 6  = 4 + ( 5 + 6)                          
      9    + 6  = 4 +    11

                        15  =  15

b. Perkalian

( a x b)  x c  = a x ( b x c )

contoh

( 2 x  8)  x 3  = 2 x  ( 8 x 3 )
     16     x  3 = 2 x  24

                              48   = 48

Tidak berlaku untuk pengurangan:

(a – b) – c  ≠ a – (b – c)

contoh:
(10 – 5) -  2 ≠  10 - ( 5 – 2)

     5       -  2 ≠  10  -    3
                3   ≠   7
 
Latihan Soal:

Isilah titik-titik di bawah ini :

1.  (3 + 2) + 1      = .... + ( .... + ....)  = ...
2.   7 + ( 3 + 5 )   = ( ...+ ... ) + ....     = ....                             
3.  (-3 + 5 ) + 17  = .... + ( .... + ....)  = ....
4.  ( 5 x 12) x 3    = .... x (.... x ...)    = ...
5.  9 x (-3 x -2 )    =  ( ... x ... ) x ...   = ....

2. Sifat Penyebaran (Distributif)

a. Distributif perkalian terhadap penjumlahan

a x (b + c) = (a x b) + (a x c)

Contoh:
4 x (5 + 8) = ( 4 x 5 ) + ( 4 x 8)
                  =     20      +     32             

                  =     52 

b. Distributif perkalian terhadap pengurangan

a x (b - c) = (a x b) - (a x c)

Contoh:

5 x ( 7 - 2) = ( 5 x 7 ) - ( 5 x 2)
                  =     35      -     10             

                  =     25 

Latihan Soal:

Isilah titik-titik di bawah ini :

1.  4  x  ( 2 + 1 )      = (.... x ....) +  ( ... x ... ) = ....
2.  7 x  ( - 2 + 4 )      = (... x ....) +  ( ... x ... ) = ....
3.  6  x  ( 10 - 3 )      = (.... x ....) -  ( ... x ... ) = ....
4.  -8  x  ( 4 - 2 )      =  (.... x ....) -  ( ... x ... ) = ....
5.  9 x (-3 + ( -2)  )    =  (.... x ....) +  ( ... x ... ) = ....

Kunci jawaban:

Sifat Pertukaran (Komutatif)

1.  3 ; 18
2. -2 ; 6
3.  -3 ; 2
4. 12 ; 60

5. 9 : -27

Sifat Pengelompokan (Asosiatif)

1. 3 ; 2 ; 1 ; 6
2. 7 ; 3 ; 5 ; 15
3. -3 ; 5 ; 17 ; 19

4.  5 ; 12 ; 3 ; 180
5.  9 ; -3 ; -2  = 54

Sifat Penyebaran (Distributif)

1.  4 : 2 ; 4 ; 1 ; 12

2.  7 : -2 ; 7 ; 4 ; 14

3.  6 : 10 ; 6 ; 3 ; 42

4.  -8 : 4 ; -8 ; 2 ; -16

5.  9 : -3 ; 9 ; -2 ; -45

Untuk format PDF bisa di download di sini